Абдуррагим-бек Ахвердов родился 17 (29) мая 1870 года в городе Шуша в бекском роду Ахвердиевых. Его отец Асадбек был секретарём в уездном управлении. После того как в три года Абдуррагим потерял отца, он некоторое время жил у дяди. В 1880 году отчим Абдуррагима Г. Садыгбеков отдаёт его в школу. В 1890 году Ахвердов окончил шестой класс Шушинского реального училища и поступил в последний класс Тифлисского реального училища.

Ахвердов (слева), будучи студентом в Петербурге

В 1891 Ахвердов, после окончания Тифлисского реального училища, для продолжения образования поехал в Петербург, где поступил в институт инженеров железнодорожного транспорта, и одновременно в качестве вольнослушателя посещал курсы восточного факультета университета. В Петербурге будущий драматург интересовался театром, часто посещал спектакли Александринского театра. Свои первые драматические произведения «Съешь гусиного мяса, узнаешь его вкус» (1892) и «Разорённое гнездо» (1896) написал в Петербурге.

В драме «Разорённое гнездо»(«Рассыпавшийся союз») Ахвердов изобразил разложение русского дворянства в конце XIX века, социальную и семейную трагедию помещика. В пьесе «Несчастный юноша» (1900) Ахвердов впервые в азербайджанской драматургии создал образ молодого человека, вступающего в борьбу с патриархально-феодальными порядками. В исторической трагедии «Ага Мухаммед-шах Каджар» (1907) создал обобщённый образ восточного деспота. Пьеса Ахвердова «Волшебница пери» (1901), отразившая влияние на творчество символистской драматургии, утверждала идею непротивления злу.

Лучшие произведения Ахвердова выражают протест против угнетения народа, призывают к борьбе с пережитками феодализма, невежеством. А. Ахвердов, как и Н. Везиров, показывал разложение феодального строя, деградацию помещиков, но он расширил рамки бытовой драматургии, углубил социальный смысл своих пьес, создал образы героев, вступающих в борьбу за справедливость, протестующих против насилия. Пьесы автора шли во всех азербайджанских дореволюционных труппах. Ахвердов участвовал в развитии национального театра также и как организатор, режиссёр. В 1899—1900 годах он руководил Шушинской драматической труппой, позднее работал вместе с Г. Махмудбековым, Д. Зейналовым в бакинской труппе, осуществляя постановку спектаклей. Ахвердов добился значительных успехов в деятельности этого коллектива, с 1900 года труппа стала профессиональной. В 1901—1903 он поставил в этом театре пьесы Наджаф-бека Везирова, М. Ф. Ахундова и др. А. Ахвердов руководил труппой до 1904 года. Ахвердов был идейным руководителем национального театра в период его становления, возглавлял борьбу за сценичический реализм, демократическую направленность азербайджанского театрального искусства, стремился обогатить репертуар, использовать опыт передовой русской культуры, добиться естественности, ансамбля в актёрском исполнении.

В 1904 году Ахвердов был избран в Шушинское городское самоуправление.

С 1907 года Ахвердов — один из ведущих авторов сатирического журнала «Молла Насреддин», где помещает рассказы, фельетоны, статьи, резко критикующие буржуазно-помещичий строй, господствующие классы.

В советское время драматург написал пьесы «В тени дерева» (1926), «Старое поколение» (1927, в которой по-новому раскрывает тему крушения дворянского мира, обличает пережитки прошлого, «Женский праздник» (1928), «Товарищ Кёр-оглы» (1932). Пьесы Ахвердова шли в Азербайджанском драматическом театре им. Азизбекова и других коллективах республики. Автор очерка «Из истории азербайджанского театра». Переводил Шекспира, Шиллера, Вольтера, Э. Золя, рассказы М. Горького, А. П. Чехова, В. Г. Короленко и др.