По образованию филолог (кандидат филологических наук), в 1987 году окончил Якутский государственный университет. С 1988 по 1992 обучался на режиссёрском факультете ГИТИСа (мастерская Анатолия Васильева). В 1996—97 годах стажировался в Халльском университете в Великобритании. В 1997 году защитил кандидатскую диссертацию по английской литературе в Московском педагогическом государственном университете по теме «Ориентальные мотивы в творчестве Оскара Уайльда». Работал доцентом кафедры английской филологии Якутского университета, преподавал стилистику английского языка и анализ художественного текста. Женат, имеет троих детей и троих внуков.

О своей фамилии говорит: «…она староверческая, казацкая, её очень много в Забайкалье. Это старая фамилия, была до раскола. Известны иноки с этим именем, их имена брались от двух римских пап, был Геласим I и Геласим II. До раскола в православной церкви было много иноков с именем Геласим. Но после раскола все эти люди ушли в скиты, в раскол, в самосожжение, стали бродячим людом, прибились к казакам, фамилия исчезла из имперского центра. Я находил эту фамилию в Донском казачьем войске, среди терского казачества. Так что фамилия распространенная, но оказалась под спудом. Что касается коверканий — я всегда хохочу, когда говорят Герасимов». В составе делегаций российских писателей участвовал в международных книжных ярмарках во Франкфурте (2003), Лейпциге (2004), Варшаве (2004), Париже (2005, 2010, 2012, 2018), Будапеште (2005), Женеве (2007, 2015), Нью-Йорке (2012), Барселоне (2012), Лондоне (2016), Калькутте (2020), Тегеране (2022) и др. Принимал участие в региональных книжных выставках в Бордо (Франция, 2005), Сен-Мало (Франция, 2005, 2010), Фюво (Франция, 2007), Монпелье (Франция, 2008), Ди (Франция, 2008, 2010) и др. В марте 2010 года по приглашению Министерства иностранных дел Франции участвовал от России в официальной программе юбилейного 30-го Книжного Салона в Париже, на который были приглашены 30 писателей из 30 стран. Переведён на английский, французский, немецкий, испанский, итальянский, болгарский, эстонский, маратхи, иврит и др. языки.

В 2008 в издательстве «Эксмо» вышел роман Геласимова «Степные боги». В основе сюжета книги лежит история дружбы забайкальского подростка Петьки и пленного японца — врача Хиротаро. Действие романа происходит в вымышленном селе Разгуляевка летом 1945 года, накануне объявления Советским Союзом войны японской империи и атомной бомбардировки американцами Хиросимы и Нагасаки, где родился и вырос Хиротаро. Помимо романа в книгу включены рассказы о предвоенной жизни Разгуляевки, сюжетно с ним связанные.

В 2009 году Андрей Геласимов стал лауреатом литературной премии «Национальный бестселлер» за роман «Степные боги».

В 2010 году Андрею Геласимову был вручён Знак отличия Республики Саха (Якутия) «Гражданская Доблесть».

В конце 2009 года вышел роман «Дом на Озёрной» («Эксмо») — современная история о представителях многочисленной семьи, потерявших все свои накопления в эпоху кризиса.

В конце 2010-го вышла книга «Кольцо Белого Волка», написанная Геласимовым для своих троих детей, когда писатель жил в Англии. Геласимов писал историю по главе и отсылал домой по почте в конвертах. Книга оформлена рисунками художницы Кэти Тренд.

Весной 2015-го опубликован роман «Холод» («Эксмо»). Книга включена в лонг-листы литературных премий «Большая книга», «Ясная Поляна», «Русский Букер». За этот роман Геласимов номинирован журналом «GQ» на премию «Человек года» в категории «Писатель года», а также стал лауреатом премии журнала «Октябрь». В декабре 2016 года роман «Холод», переведённый на английский язык («Into The Thickening Fog»), поднялся до верхних строк рейтинга на американской платформе Amazon.

Весной 2016 года издательство «Э» выпустило сборник повестей и рассказов «Десять историй о любви». Рассказ «Paradise Found» из этого сборника был экранизирован Сергеем Соловьевым (полнометражный художественный фильм «Ке-ды»). Сборник включён в лонг-лист ежегодной литературной премии «Ясная Поляна».

В 2018 году в издательстве «Городец» вышел роман «Роза ветров», посвящённый освоению Дальнего Востока в середине XIX века. Известный российский рэпер Баста выпустил видеоклип к этой книге. В декабре 2019 года роман «Роза ветров» был признан лучшим в номинации «Длинная проза» Общероссийской литературной премии «Дальний Восток» им. В. К. Арсеньева.

С осени 2018 года занимает должность доцента Литературного института им. Горького. Ведёт семинар прозы.

В 2019 году Андрей Геласимов стал автором Тотального диктанта-2020

В ноябре 2019 года в издательстве «Городец» опубликован роман «Чистый кайф». Через призму судьбы культовых исполнителей рэпа книга исследует феномен зарождения этой культуры в России в конце 90-х годов. В 2021 году автор стал лауреатом Московской Арт Премии за этот роман.

Среди своих литературных учителей Геласимов называет Сола Беллоу, Уильяма Фолкнера, Иосифа Бродского и Эрнеста Хемингуэя.