Леонид Малюгин родился в Санкт-Петербурге, был третьим ребёнком в семье: старшая сестра Зинаида, ; вторая сестра Тамара Антоновна и младшая сестра Надежда Антоновна . Отец — Антон Лаврентьевич, мать — Анна Гавриловна, родиной родителей была деревня Поповка под Касимовом.

В 1906 году семья Малюгина переехала из Тифлиса в Петербург, где отец Малюгина открывает кондитерскую. В 1917 года мать Малюгина с детьми была вынуждена уехать в Рязанскую губернию на родину, где они прожили до 1921 года.

После возвращения в Петроград Леонид Антонович поступил в Советскую трудовую школу № 146, которую окончил в 1925 году Далее обучался в техникуме печати , после окончания которого поступил в Институт истории искусств. Окончил аспирантуру Института истории искусств в Ленинграде .

В 1931—1934 годах Малюгин служил в РККА. С 1925 года работал в газетах и журналах «Наша газета», «Красная газета», «Под знаменем Советов», «Рабочая газета», «Гудок», «Полярная Звезда».

В 1935—1937 годах был заведующим литературной частью Реалистического театра Л. С. Вивьена. С 1937 года — заместителем редактора журнала «Искусство и жизнь». В 1940 принят в Союз писателей СССР.

В 1940—1946 годах Малюгин был заведующим литературной части Большого драматического театра. В ноябре 1943 года в блокадном Ленинграде организовал и руководил театральной студией БДТ. Параллельно занимался преподавательской работой в Ленинградском театральном институте.

В 1942 году в БДТ состоялась премьера первой пьесы Малюгина — «Дорога в Нью-Йорк», в 1943 году С. И. Юткевич поставил пьесу в Театре Комедии.

В 1944 году написал для студии пьесу «Старые друзья», которая была поставлена А. М. Лобановым в московском Театре им. М. Н. Ермоловой, постановка была удостоена Сталинской премии в 1946 году.

В 1946 году Леонид Малюгин переехал в Москву, стал членом редколлегии газеты «Советская культура», членом Комиссии по драматургии в Союза писателей СССР, преподавал в ГИТИСе.

Во время «борьбы с космополитизмом» подвергался нападкам как «воинствующий космополит», «антипатриотический критик» и «клеветник».

Малюгин — автор пьес, поставленных более чем в 300 театрах страны и за рубежом: «Старые друзья» , «Родные места» , «Молодая Россия» , «Насмешливое моё счастье» , «Жизнь Сент-Экзюпери» , «Новые игрушки», «Путешествие в ближние страны», «Семь километров в сторону». Л. А. Малюгин является автором книг «Дальняя дорога», «Театр начинается с литературы» , «Три повести для театра» , «Старые друзья» , «Чехов» , монографии «Хмелёв» .

Был членом Союза писателей СССР , Союза кинематеграфистов СССР, Всероссийского театрального общества. До последних дней Л. А. Малюгин принимал участие в художественном совете при третьем творческом объединении «Товарищ» Мосфильма, являлся членом кинематографической комиссии Союза писателей СССР, комиссии по литературному наследию.

Умер 20 января 1968 года от рака. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище .