Родился 12 августа 1934 года на железнодорожной станции Поназырево (ныне Костромская область). Детство и юность прошли в Свечинском районе Кировской области, школу окончил в Котельниче. В предисловии к сборнику «Весенняя охота на гусей» (1968) Олег Куваев напишет: Я родился в Костромской области в 1934 году, но считаю себя вятичем, ибо все время вплоть до института жил в Кировской области, вначале в деревне Кузьмёнки, позднее на железнодорожном разъезде Юма…

Отец, Михаил Николаевич Куваев, родился в 1891 году в деревне Медведица Одоевско-Спиринской волости Ветлужского уезда Костромской губернии. В годы Первой мировой войны служил телеграфистом. Работал экономистом службы движения станции Поназырево, был арестован 16 апреля 1938 года по обвинению в антисоветской деятельности, дело было прекращено 20 января 1939 года. Мать, Куваева (в девичестве Ивакина) Павла Васильевна, была учительницей начальной школы. Осенью 1939 года семья переехала в Свечинский район, деревню Ивакины. В Ивакиных семья проживала чуть больше года, а поздней осенью 1941 года переехала в деревню Кузьмёнки, где была открыта начальная школа и куда была переведена Павла Васильевна. Два первых года войны отец работал на одной из железнодорожных станций Котельничского района, а осенью 1944 года был переведён ближе к семье, в село Юма Свечинского района, куда сразу же переехала вся семья.

Летом 1952 года Куваев поступил на геофизический факультет МГРИ имени Серго Орджоникидзе, который окончил в 1958 году. За годы учёбы в институте побывал в экспедициях на Тянь-Шане, в Киргизии, в верховьях Амура. В 1956 году во время экспедиции на Тянь-Шане написал первый рассказ «За козерогами», который был напечатан в журнале «Охота и охотничье хозяйство» (№ 3). В 1957 году, будучи студентом-дипломником, Куваев попал на Чукотку, экспедиция работала в районах бухты Провидения, бухты Преображения, залива Креста.

После защиты диплома в 1958 году добился распределения на Чукотку и в течение трёх лет работал начальником партии Чаунского геологического управления в посёлке Певек, на берегу Чаунской губы. В Певеке Куваев получил первый опыт литературной работы в литобъединении при местной газете «Полярная звезда». Альманах «На севере дальнем» опубликовал рассказы Куваева «Зверобои» и «Гернеугин, не любящий шума».

Мемориальная доска Куваева в Магадане

В 1960 году был переведён в Магадан в Северо-Восточное геологическое управление, на должность старшего инженера отряда геофизического контроля. Ещё через пять месяцев он стал старшим специалистом по гравиметрии геофизического отдела СВГУ. В октябре 1961 года О. Куваев осознал, что к руководящей должности в СВГУ, несмотря на успехи, «…не был приспособлен — затосковал и неожиданно для себя уехал в Москву». Куваев уезжает с Севера, поселяется в Подмосковье. В своих произведениях он пытается правдиво передать дух и образ жизни людей Севера конца 1940-х — начала 1960-х годов. Этот этап жизни писателя нашёл отражение в неоконченном романе «Правила бегства» (опубликован посмертно в 1980 году с некоторыми сокращениями, полностью — в 1988 году).

После ухода из геологии и отъезда с Северо-Востока Олег Куваев предприниял несколько крайне сложных самостоятельных маршрутов по Чукотке, в том числе в поисках легендарного гигантского бурого медведя кайнын-кхутхо и «горы из самородного серебра» Пилахуэрти-нейка (Серебряная гора) (оба мифологических объекта присутствуют в преданиях эвенов, чукчей, юкагиров и коряков). Некоторые маршруты, в том числе на Памир, были осуществлены при поддержке журнала Вокруг Света. Этот опыт Куваев описал в своих документально-географических произведениях (см. раздел «Документальная проза»).

В 1966—1975 годах жил в Калининграде (ныне Королёв) Московской области по адресу ул. Дзержинского, д. 20 (на доме установлена мемориальная доска).

Умер от инфаркта 8 апреля 1975 года в Переславле-Залесском (Ярославская область). Похоронен в Королёве на старом Болшевском кладбище.