Родился в семье Бориса Михайловича Аронова, работника парфюмерной промышленности, и Зинаиды Захаровны Певзнер, врача-гинеколога-венеролога (была арестована по делу врачей-вредителей в начале 1950-х годов).

Вместе с отцом часто ходил на представления Московского цирка. Играл во всех школьных спектаклях. После окончания десятилетки, когда он сидел во дворе своего дома и готовился к экзаменам в ГИТИС, был сбит грузовиком, долго лежал в параличе. Через год, на костылях пришёл поступать на режиссёрский факультет, выдержал экзамен, но не был принят, поскольку у Аронова не слышало одно ухо, не видел правый глаз, половина лица была парализована. Однако в декабре 1940 года для вечера, посвященного Дню Конституции, Аронов написал сценарий и поставил его со студентами первого курса актёрского факультета; декан актёрского факультета увидел работу Аронова и сам предложил ему учиться на режиссёрском факультете.

Учёба была прервана Великой Отечественной войной. На десятый её день Аронов, несмотря на протесты врачей, ушёл добровольцем в студенческий батальон Красной Пресни, но через несколько месяцев вернулся по приказу о возвращении студентов.

Юрий Никулин вспоминал:

Мой друг Аронов, когда видел что-нибудь очень плохое — картину, клоунаду, плохого артиста, жуткий номер, — всегда говорил: «Что тебе сказать? Хуже этого только война!»

Аронов переехал в Омск, но состав Омского театра драмы был переполнен. Тогда Аронов поступил режиссёром и актёром в кукольный театр, где написал и поставил пьесу «В последний час — (окна ТАСС)». Он подружился с опытным режиссёром цирка Борисом Шахетом, который учил Аронова цирковой режиссуре, привлекал к постановке массовых городских представлений.

Параллельно с работой в театре Аронов был художественным руководителем Калининского цирка, где пытался по-новому раскрыть таланты артистов. Например, заслуженный артист РСФСР акробат Владимир Довейко впервые в Калинине начал читать стихи и играть в цирковых спектаклях. В этом, как он сам говорил, была заслуга его первого режиссёра Аронова, до встречи с которым он был просто акробатом-прыгуном.

Аронов часто бывал в Москве, где познакомился с драматической актрисой Московского театра драмы и комедии (впоследствии ставшего Театром на Таганке) Ларисой Бухарцевой и женился на ней. В апреле 1947 года в Москве у них родилась дочь Людмила. Жили в коммунальной квартире на углу Цветного и Петровского бульваров. Через три года брак распался.

В 1951 году по приглашению Главного управления цирков Аронов стал штатным режиссёром Московского цирка и Центральной студии циркового искусства. Он осуществил ряд постановок, например, «Здравствуй, столица» в 1953 году, ставил программы Карандашу, Антонио и Шлискевичу, Юрию Никулину; совместно с режиссёром Арнольдом Арнольдом ставил большие цирковые представления, создал клоунскую группу «Семеро весёлых», а с Евгением Кузнецовым и Арнольдом — программу «Дружба народов».

В любительском эстрадном коллективе Центрального дома работников искусств (ЦДРИ) «Первый шаг», в программе «Молодые москвичи», которую поставил режиссёр Аронов в 1955 году, начинали свой творческий путь певица Майя Кристалинская, вокальный квартет «Четыре Ю», артист и режиссёр Илья Рутберг, артист кино Савелий Крамаров, певица Ирина Подошьян.

Аронова пригласили режиссёром в Московский драматический театр имени Станиславского, но совмещать цирк и театр становилось все труднее, и он выбрал театр, где поставил такие спектакли, как «Трус» Александра Крона (1956), «О личном» Владимира Пистоленко (1957), «Раскрытое окно» Эмиля Брагинского (1958), «Здравствуй, Катя!» Михаила Львовского (совместно с народным артистом СССР Михаилом Яншиным, 1959), «Первый день свободы» Леона Кручковского (1960), «Винтовка № 492116» Александра Крона (1960), «Сейлемские ведьмы» Артура Миллера (1962), «Жизнь и преступление Антона Шелестова» Григория Медынского и В. Н. Токарева (1961).

Аронов не только ставил, но и играл: генерала фон Шратта в спектакле «Дни Турбиных», Крюгера в спектакле «Домик у моря» по С. Цвейгу (1956), полицейского и Иисуса Христа в спектакле «Де Преторе Винченцо» по пьесе Эдуардо Де Филиппо (1957), тюремщика в спектакле «Крошка Доррит» по Диккенсу (1953). Дочь Александра Аронова Людмила рассказывала, что, будучи ребёнком, пришла однажды в театр за кулисы и спросила у загримированного под тюремщика Аронова: «Как найти Александра Борисовича?»

Аронов был не только режиссёром, но и педагогом, воспитателем молодых актёров. Совместно с артистом Львом Елагиным он организовал при Театре им. Станиславского вечернюю молодёжную студию и руководил ею в течение семи лет на добровольных началах. Из этой студии вышло много актёров, впоследствии завоевавших ведущее место в театре и кино. В числе студийцев были: Никита Михалков, Виктор Павлов, Александр Пашутин, Елизавета Никищихина, Яков Покрасс, Александр Кобозев, Виктория Федорова, Евгений Стеблов, Инна Чурикова, Людмила Гаврилова, Борис Тираспольский, Александр Лахман, Борис Бурляев, Татьяна Ухарова и многие другие. «Мы чувствовали себя на седьмом небе» — так напишет о днях, проведённых в студии, Евгений Стеблов.

Выезжал в длительные командировки в Польшу для постановки уличных цирковых парадов и цирковых номеров. Когда в Польше вышел перевод его документальной повести «Пассажир без билета», он взял свою дочь Людмилу с собой «тратить гонорар в Варшаве» и, по её словам, по возвращении домой вручил ей польско-русский словарь, сказав: «Учи польский, он тебе ещё пригодится».

Иногда Аронов ставил различные цирковые представления. Наиболее крупное из них — цирковой спектакль на ВДНХ «Трубка мира» (1961) с участием клоуна Карандаша.

Как писал о нём Сергей Михалков, «В литературу для детей и юношества пришел со своей темой, несущей душевность и доброту, настоящий писатель, книги которого даже взрослые читали с удовольствием». В «Медвежьем цирке» (книга написана совместно с народным артистом РСФСР дрессировщиком Валентином Филатовым, издана в 1962) с настоящим драматизмом описывается черновая работа дрессировщика, рассказывается о повадках львов, медведей, слонов и других четвероногих артистов. В повести «Цирк приехал!» (издана в 1963) речь идёт о мальчике, который решил стать артистом и сумел этого достичь, пережив много грустных и веселых приключений. Озорной и добродушный писатель не только веселит и развлекает ребят, но и учит их разбираться в жизни.

В 1965 году Аронов снова вернулся в цирк режиссёром-постановщиком. Этот период его работы запечатлён на пленках киножурнала «Новости дня» Союзгосцирка. На ВДНХ он поставил представление «День цирка» (1967), а в 1968 году в Центральной студии циркового искусства совместно со спортсменом-тяжелоатлетом и артистом Григорием Новаком поставил аттракцион «Атлетическая поэма» (исполнители — Новак с сыновьями).

Одновременно Александр Аронов продолжал писать. Его повесть «Пассажир без билета» (издана в 1967) об артисте цирка Льве Осинском, который вследствие боевого ранения во время Великой Отечественной войны потерял руку, и о его возвращении к любимой цирковой профессии, сначала вышла в сокращённом варианте в журнале «Юность», а затем, с продолжением, печаталась в нескольких номерах журнала «Советская эстрада и цирк». Повесть была хорошо принята и читателями, и критикой. А писатель сразу начал работу над следующим произведением — «Браво, Аракс!», — посвященным жизни и творчеству первой в СССР женщины — укротительницы львов Ирины Бугримовой.

Последней работой Аронова в цирке стало представление «Цирк на воде» (1970), поставленное им по сценарию, написанному в соавторстве с поэтом Сергеем Михалковым для арены Нового московского цирка.

В ноябре 1970 года после очередного инфаркта Аронов умер. Урна с прахом А. Б. Аронова захоронена на Даниловском кладбище в Москве.

В апреле 1971 года у дочери Аронова Людмилы и её мужа, режиссёра Москонцерта Александра Лахмана, бывшего участника студии Аронова, родился сын, которого в память деда назвали Александром. Последняя книга А. Б. Аронова «Браво, Аракс!» была издана посмертно, а повесть «Пассажир без билета» была переведена и переиздана в Польше (обе изданы 1971). В 1975 году в Польше была переиздана книга «Браво, Аракс!»

В 1976 году по мотивам повести «Пассажир без билета» был создан телефильм «Эквилибрист». В 1987 году по повести «Цирк приехал!» был снят одноимённый трёхсерийный телефильм.