Родился 13 (26 мая) 1908 года в Москве в дворянской семье. Среди его предков был декабрист Антон Арбузов (1797/1798—1843). Отец, Николай Кирович Арбузов был банковским клерком в Санкт-Петербурге, впоследствии разорился. Мать — Надежда Владимировна Мандражи, сестра Инны Владимировны Мандражи — актрисы Малого театра (театра Суворина). Дед Владимир Николаевич Мандражи был дворянином греческого происхождения, внесённым в 3-ю часть Российской Дворянской родословной книги по Херсонской губернии. В 1914 году семья переехала в Петроград, в 1916 году Алексей Арбузов начал учиться в гимназии, однако систематического образования не получил.

Революция 1917 года, голод и болезнь матери, тяжело переживавшей уход мужа к своей первой жене, сделали Алексея сиротой в 11 лет. Мальчик был вынужден бродяжничать и вскоре попал в колонию для трудновоспитуемых. В БДТ Арбузову довелось увидеть спектакль «Разбойники» Ф. Шиллера, который показывали для красноармейцев, уходивших на фронт. Со вступительным словом выступил А. А. Блок. Впечатление Арбузова было настолько сильным, что в этом театре пересмотрел все спектакли, знал весь репертуар.

В 14 лет начал работать статистом в Мариинском театре. В 16 лет поступил в драматическую студию под руководством Павла Гайдебурова, актёра и режиссёра, и по окончании обучения был принят в труппу руководимого Гайдебуровым Передвижного театра. Весной 1928 года Арбузов покинул театр, чтобы создать вместе с группой молодых актёров свой «Цех экспериментальной драмы». После его распада принял участие в организации театра на колёсах (агитвагона), который ездил со спектаклями по малым городам России. Собственного драматурга театр не имел, поэтому Арбузов сам взялся за перо. Первая многоактная пьеса «Класс» была поставлена в Ленинграде, но не имела успеха.

После провала Арбузов уехал в Москву и поступил в Театр имени Мейерхольда.

Первой по-настоящему успешной пьесой Алексея Арбузова стала «Таня», написанная в 1939 году и в том же году поставленная Андреем Лобановым в Театре Революции, с Марией Бабановой в главной роли. В дальнейшем «Таня», как в первой редакции, так и во второй (1946 года), ставилась едва ли не во всех театрах страны и принесла широкое признание автору, а в СССР буквально не сходили со сцены («Иркутская история» сыграна более 9000 раз только в 1960—1961 годах). Многие эксперименты Арбузова в области формы свидетельствуют о влиянии Теннесси Уильямса и Джона Осборна.

Государственная премия СССР (1980) — «за пьесы последних лет».

Могила Арбузова А.

Умер 20 апреля 1986 года. Похоронен в Москве на Кунцевском кладбище.