Уильям был пятым ребёнком Мод Сары Гибсон-Индж и Лютера Клея Инджа. Индж посещал общинный колледж в родном Индепенденсе и окончил Канзасский университет в 1935 году со степенью бакалавра искусств в области речи и драмы. В университете был членом студенческого братства Sigma Nu[англ.]. Получив стипендию, Индж уезжает в Нэшвилл (штат Теннесси) для получения степени магистра искусств в Колледже Пибоди, но позже бросил учёбу.

Вернувшись в Канзас, Индж был рабочим на автомагистрали штата и ведущим новостей на радио в Уичито. С 1937 по 1938 год преподавал английский язык и драму в старшей школе в Колумбусе (штат Канзас)[англ.]. В 1938 году Индж вернулся в Колледж Пибоди, получив степень магистра, после чего с 1938 по 1943 год преподавал в частном женском Колледже Стивенс в Колумбии (штат Миссури). В 1943 году стал театральным критиком в газете St. Louis Star-Times. В 1946—1949 годах преподавал в Университете Вашингтона в Сент-Луисе.

В 1947 году написал свою первую пьесу, вскоре поставленную на сцене. Во время преподавания в Университете Вашингтона у Инджа обострилась проблема алкоголизма и в 1947 году он присоединился к «Анонимным алкоголикам» (AA). Именно там он познакомился с женой члена его группы АА по имени Лола, которая стала прототипом главной героини драмы «Вернись, малышка Шеба», прославившей драматурга. В 1950-х годах пьесы Инджа с успехом шли на Бродвее и он переехал в Нью-Йорк.

В начале 1970-х годов Индж жил в Лос-Анджелесе, где преподавал драматургию в Калифорнийском университете в Ирвайне. Его последние пьес привлекли мало внимания и читателей и критиков, вследствие чего Индж впал в глубокую депрессию, убеждённый, что никогда больше не сможет писать хорошо. 10 июня 1973 года в возрасте 60 лет Индж покончил жизнь самоубийством в своём доме в Голливуде, отравившись угарным газом. Похоронен на кладбище «Гора надежды» в родном Индепенденсе.